Termination w.r.t. Q proof of Endrullis_06

Termination w.r.t. Q of the given QTRS could be proven:

0 QTRS

↳1 DependencyPairsProof (⇔, 0 ms)

↳2 QDP

↳3 TransformationProof (⇔, 0 ms)

↳4 QDP

↳5 TransformationProof (⇔, 0 ms)

↳6 QDP

↳7 SemLabProof (⇒, 462 ms)

↳8 QDP

↳9 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

↳10 QDP

↳11 QDPOrderProof (⇔, 81 ms)

↳12 QDP

↳13 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

↳14 AND

    ↳15 QDP

        ↳16 QDPOrderProof (⇔, 0 ms)

        ↳17 QDP

        ↳18 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

        ↳19 QDP

        ↳20 QDPOrderProof (⇔, 0 ms)

        ↳21 QDP

        ↳22 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

        ↳23 QDP

        ↳24 QDPOrderProof (⇔, 21 ms)

        ↳25 QDP

        ↳26 PisEmptyProof (⇔, 0 ms)

        ↳27 YES

    ↳28 QDP

        ↳29 QDPOrderProof (⇔, 0 ms)

        ↳30 QDP

        ↳31 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

        ↳32 QDP

        ↳33 QDPOrderProof (⇔, 0 ms)

        ↳34 QDP

        ↳35 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

        ↳36 QDP

        ↳37 QDPOrderProof (⇔, 9 ms)

        ↳38 QDP

        ↳39 DependencyGraphProof (⇔, 0 ms)

        ↳40 TRUE

(0) Obligation:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.

(1) DependencyPairsProof (EQUIVALENT transformation)

Using Dependency Pairs [AG00,LPAR04] we result in the following initial DP problem.

(2) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x, y, a), z, w) → F(z, w, f(y, x, z))
F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z)

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(3) TransformationProof (EQUIVALENT transformation)

By forward instantiating [JAR06] the rule F(f(x, y, a), z, w) → F(z, w, f(y, x, z)) we obtained the following new rules [LPAR04]:

F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a))) → F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))

(4) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z)
F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(5) TransformationProof (EQUIVALENT transformation)

By forward instantiating [JAR06] the rule F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z) we obtained the following new rules [LPAR04]:

F(f(x0, f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), x0, x2) → F(f(x0, f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), x0, x2)
F(f(f(y_2, y_3, a), f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), f(y_2, y_3, a), x2) → F(f(f(y_2, y_3, a), f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), f(y_2, y_3, a), x2)

(6) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))
F(f(x0, f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), x0, x2)
F(f(f(y_2, y_3, a), f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), f(y_2, y_3, a), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(7) SemLabProof (SOUND transformation)

We found the following model for the rules of the TRSs R and P. Interpretation over the domain with elements from 0 to 1.
a: 1
f: 0
F: 0
By semantic labelling [SEMLAB] we obtain the following labelled QDP problem.

(8) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(9) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 24 less nodes.

(10) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(11) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂ + x₃
POL(F.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂
POL(F.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₃
POL(F.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁
POL(a.) = 0
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = x₃
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₂
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = x₃

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

(12) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(13) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 2 SCCs with 59 less nodes.

(14) Complex Obligation (AND)

(15) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(16) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃
POL(a.) = 1
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₃
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₃
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(17) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(18) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 7 less nodes.

(19) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(20) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃
POL(a.) = 1
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = x₃

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(21) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(22) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 4 less nodes.

(23) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(24) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃
POL(a.) = 1
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂ + x₃
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₃
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(25) Obligation:

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(26) PisEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

(27) YES

(28) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(29) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂
POL(F.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₃
POL(a.) = 1
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = x₃
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = x₃
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(30) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(31) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 2 less nodes.

(32) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(33) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₂
POL(F.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₃
POL(a.) = 1
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = x₃

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(34) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(35) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 1 less node.

(36) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(37) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04,JAR06].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂
POL(F.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = x₁
POL(a.) = 0
POL(f.0-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-0-1(x₁, x₂, x₃)) = 1 + x₁ + x₂ + x₃
POL(f.0-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.0-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-0-1(x₁, x₂, x₃)) = x₂
POL(f.1-1-0(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(f.1-1-1(x₁, x₂, x₃)) = 0

The following usable rules [FROCOS05] with respect to the argument filtering of the ordering [JAR06] were oriented:

f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))

(38) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(39) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 0 SCCs with 2 less nodes.

(0) Obligation:

(1) DependencyPairsProof (EQUIVALENT transformation)

(2) Obligation:

(3) TransformationProof (EQUIVALENT transformation)

(4) Obligation:

(5) TransformationProof (EQUIVALENT transformation)

(6) Obligation:

(7) SemLabProof (SOUND transformation)

(8) Obligation:

(9) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(10) Obligation:

(11) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(12) Obligation:

(13) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(14) Complex Obligation (AND)

(15) Obligation:

(16) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(17) Obligation:

(18) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(19) Obligation:

(20) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(21) Obligation:

(22) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(23) Obligation:

(24) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(25) Obligation:

(26) PisEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

(27) YES

(28) Obligation:

(29) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(30) Obligation:

(31) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(32) Obligation:

(33) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(34) Obligation:

(35) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(36) Obligation:

(37) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

(38) Obligation:

(39) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

(40) TRUE